Sumber: www.lombokgilis.com
Sebuah home industry pada bulan Januari 2008 memproduksi
310 unit kerajinan tangan. Home industry tersebut menargetkan
jumlah produksinya bertambah 20 unit setiap bulan. Berapakah
jumlah produksi home industry tersebut pada bulan Desember
2008? Dengan menggunakan konsep barisan aritmetika, Anda
dapat memecahkan masalah ini.
Pada pembahasan kali ini, Anda akan mempelajari
barisan bilangan, deret bilangan, dan penerapannya. Materi ini
sebenarnya telah Anda dapatkan di Kelas IX SMP. Akan tetapi,
pada pembelajaran kali ini materi pembelajaran lebih ditekankan
pada masalah sehari-hari di sekitar Anda.
Setelah mempelajari bab ini, diharapkan Anda dapat menerapkan konsep
barisan dan deret dalam pemecahan masalah, yaitu mengidentifi kasi
pola, barisan, dan deret bilangan, menerapkan konsep barisan dan deret
aritmetika dan geometri. Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK
Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi
86
Soal Pramateri
Materi tentang Barisan dan Deret Bilangan dapat digambarkan sebagai berikut.
Peta Konsep
Kerjakan soal-soal berikut, sebelum Anda mempelajari bab ini.
1. Tentukanlah hasil operasi penjumlahan dan
pengurangan berikut.
a. 6 – (–6) c. –12 – 7
b. –19 + (–12) d. –15 – (–10)
2. Tentukanlah hasil operasi perkalian dan
pembagian berikut.
a. 2 ¥ 53
d. 6 :
2
3
2
Ê
Ë
Ê Ê Ê Ê
Ë Ë
Ê Ê Ê Ê ˆ
¯
ˆ ˆ ˆ ˆ
¯ ¯
ˆ ˆ ˆ ˆ
b. 16 ¥ 24
e. 90 :
1
4
2
Ê
Ë
Ê Ê Ê Ê
Ë Ë
Ê Ê Ê Ê ˆ
¯
ˆ ˆ ˆ ˆ
¯ ¯
ˆ ˆ ˆ ˆ
c. 36 ¥
1
3
2
Ê
Ë
Ê Ê Ê Ê
Ë Ë
Ê Ê Ê Ê ˆ
¯
ˆ ˆ ˆ ˆ
¯ ¯
ˆ ˆ ˆ ˆ
Barisan Bilangan Deret Bilangan
Un = a + (n – 1) b
S S n n
b b n n
= =
2 2
n n (( (( a a 2 2 + + a a –) –) 1 1 ) )
Un
= apn–1
S S ap ap
p p n n
n n
= =
- -
(– (– ) )
1 1
Barisan
Aritmetika
Deret
Aritmetika
Barisan
Geometri
Deret
Geometri
Barisan dan Deret
Bilangan
mempelajari konsep
terdiri atas
rumus jumlah n
suku pertama
rumus jumlah n
suku pertama
untuk p<1 untuk p>1
S S a a
p p n n
n n
= =
- -
(– (– p pn n
) ) 1 1
1 1
3. Tentukanlah hasil operasi bilangan berikut.
a.
2
() 3 2 () 5 2 - 5
b.
6
9
() 12 3 12 () 6 2 - 6
c.
12
4
2
3
¥ () 63 2
-
-
Ê
Ë
Ê Ê Ê Ê
Ë Ë
Ê Ê Ê Ê ˆ
¯
ˆ ˆ ˆ ˆ
¯ ¯
ˆ ˆ ˆ ˆ
d.
2
4
1
3
4
1
3
4
2
¥- 1
Ê
Ë
Ê Ê Ê Ê
Ë Ë
Ê Ê Ê Ê ˆ
¯
ˆ ˆ ˆ ˆ
¯ ¯
ˆ ˆ ˆ ˆ Ê
Ë
Ê Ê
Ë Ë
ˆ
¯
˜
ˆ ˆ
¯ ¯
-
Ê
Ë
Ê Ê Ê Ê
Ë Ë
Ê Ê Ê Ê ˆ
¯
ˆ ˆ ˆ ˆ
¯ ¯
ˆ ˆ ˆ ˆ87 Barisan dan Deret Bilangan
Kata Kunci
• pola bilangan
• barisan bilangan
• deret bilngan
• barisan konvergen
• barisan divergen
A Pengertian Barisan dan Deret
Bilangan
Pada pembahasan kali ini anda akan mengetahui perbedaan
antara barisan bilangan dan deret bilangan. Pelajari pembahasan
berikut dengan baik.
1. Barisan Bilangan
Sebelum mempelajari barisan bilangan, pelajarilah ilustrasi
berikut.
Andi dan Sandi adalah dua orang yang berprofesi sebagai
salesman di sebuah perusahaan produk alat-alat rumah tangga.
Keduanya biasa menjual atau menawarkan barang dagangannya
secara door to door langsung mendatangi rumah calon konsumennya.
Suatu hari pada rumah-rumah yang terletak di Jalan Delima,
mereka berdua berbagi tugas. Andi memasarkan produk di sisi
Utara, sedangkan Sandi memasarkan di sisi Selatan.
Jalan Delima
Andi
Sandi
U
6
5
4
3
2
1
Secara kebetulan Andi mendatangi rumah-rumah bernomor
1, 3, 5,...dan seterusnya. Adapun Sandi mendatangi rumah-
rumah bernomor 2, 4, 6,...dan seterusnya. Nomor-nomor rumah
yang didatangi Andi dan Sandi dapat dituliskan dalam urutan
bilangan berikut.
Nomor rumah yang didatangi Andi :1, 3, 5,...
Nomor rumah yang didatangi Sandi : 2, 4, 6,...
Selanjutnya, nomor-nomor rumah yang didatangi Andi
disebut urutan bilangan (1) dan nomor-nomor rumah yang
didatangi Sandi disebut urutan bilangan (2). Oleh karena itu,
dapat dituliskan:
urutan bilangan (1) : 1, 3, 5,...
urutan bilangan (2) : 2, 4, 6,...
Coba Anda perhatikan. Jika Andi telah mendatangi rumah
nomor 5 dan kemudian ia melanjutkan ke rumah di sebelahnya,
dapatkah Anda menyebutkan nomor rumah bernomor yang
didatangi Andi?Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK
Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi
88
Contoh Soal 3.1
Ana seorang Manajer di sebuah perusahaan elektronika. Ia mendapat
tugas dari atasannya untuk menjadi panitia dalam acara seminar
mengenai "Strategi Pemasaran Barang-Barang Elektronika". Dalam
ruang seminar itu, kursi-kursi para peserta disusun seperti pada gambar
berikut.
Untuk menjawabnya, Anda harus menemukan pola atau
aturan dari urutan bilangan (1). Dapatkah Anda menemukan
polanya?
Secara intuitif Anda dapat melihat polanya, yaitu "ditambah
2" Perhatikanlah pola urutan bilangan berikut.
1, 3, 5, …
+2 +2 +2
Bilangan 1, 3, dan 5 terletak pada urutan ke-1, 2, dan
3. Bilangan yang terletak pada urutan ke-2 merupakan hasil
penjumlahan dari bilangan yang terletak pada urutan ke-1
dengan 2, demikian juga bilangan yang terletak pada urutan
ke-3 merupakan hasil penjumlahan dari bilangan yang terletak
pada urutan ke-2 dengan 2. Setelah Anda menemukan pola
urutan bilangan (1) maka rumah yang didatangi Andi setelah ia
mendatangi rumah nomor 5 adalah rumah bernomor 5 + 2 = 7.
Dalam matematika, urutan bilangan yang memiliki pola
disebut barisan bilangan. Untuk lebih jelasnya, pelajarilah
pengertian barisan bilangan berikut.
Barisan bilangan didefi nisikan sebagai susunan bilangan
yang memiliki pola atau aturan tertentu antara satu bilangan
dengan bilangan berikutnya.
Dalam pembahasan mengenai barisan bilangan, dikenal
istilah suku. Istilah suku di sini tidak sama dengan istilah
suku dalam ilmu-ilmu sosial atau budaya yang merujuk pada
pengertian etnis atau ras.
Untuk memahami istilah suku dalam konsep barisan
bilangan, coba Anda perhatikan kembali urutan bilangan (1).
Pada urutan bilangan (1), angka 1, 3, dan 5 masing-masing
terletak pada urutan ke-1, 2, dan 3. Dengan demikian dapat
dikatakan bahwa 1 merupakan suku ke-1, 3 merupakan suku
ke-2, dan 5 merupakan suku ke-3 dari urutan bilangan (1).
Dalam konsep barisan bilangan, suku ke-n disimbolkan
dengan Un
. Dengan demikian, pada barisan bilangan 1, 3, 5,...
dapat dituliskan U1
= 1, U2
= 3, dan U3
= 5.
Gambar 3.1
Nomor rumah di perumahan
membentuk barisan bilangan.
Sebelah kanan membentuk barisan
bilangan ganjil 1, 3, 5, ..., dan
sebelah kiri membentuk barisan
bilangan genap 2, 4, 6, ....89 Barisan dan Deret Bilangan
Baris ke-2
Baris ke-n
dan seterusnya
Baris ke-1
Berdasarkan ilustrasi tersebut tentukan:
a. Jika pada barisan terakhir terdiri atas 15 kursi, tentukan jumlah
barisan yang disusun dalam ruangan tersebut.
b. Jika untuk tamu undangan diperlukan tambahan 2 baris kursi
maka tentukan jumlah tamu undangan tersebut.
Jawab:
a. Jumlah kursi yang disusun pada masing-masing barisan dalam
ruang seminar adalah sebagai berikut.
baris ke-1 = 3 kursi
baris ke-2 = 5 kursi
baris ke-3 = 7 kursi
Jika Anda cermati, ternyata untuk setiap barisnya jumlah kursi
bertambah dengan pola "ditambah 2", berarti jumlah kursi pada
setiap barisnya, dapat disusun menggunakan barisan bilangan
berikut.
3, 5, 7, 9, 11, 13,15
Pada barisan tersebut, angka 15 terdapat pada suku ke-7, berarti
jumlah barisan yang disusun pada ruangan tersebut terdapat 7
baris.
b. Jumlah tamu undangan dapat dihitung dari jumlah kursi dari 2
baris terakhir, yaitu baris ke-8 dan ke-9.
Dengan melihat pola barisan bilangan yang menyatakan jumlah
kursi pada setiap baris pada soal a dan kemudian ditambah 2
suku maka diperoleh barisan bilangan berikut.
3, 5, 7, 9, 11, 13,15, 17, 19
dua suku tambahan
Berdasarkan barisan bilangan di atas, diperoleh jumlah suku ke-8
dan ke-9 besarnya adalah U8
+ U9
= 17 + 19 = 36.
Jadi, jumlah tamu undangan adalah 36 orang.
Gambar 3.2
Jumlah kursi pada setiap baris di
ruangan seminar dapat membentuk
barisan bilangan.Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK
Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi
90
Contoh Soal 3.2
Pak Sanusi adalah seorang direktur perusahaan garmen nasional.
Untuk memprediksi prospek keuntungan perusahaannya empat tahun
ke depan, ia menggunakan jasa konsultan keuangan. Aspek-aspek
yang menjadi pertimbangan ada dua macam, yaitu aspek dalam
perusahaan dan aspek di luar perusahaan. Aspek dalam perusahaan
meliputi kualitas SDM, sistem manajemen, dan kondisi neraca
keuangan perusahaan. Aspek di luar perusahaan seperti tingkat infl asi,
angka pertumbuhan penduduk, situasi politik regional, dan trend yang
berlaku di masyarakat. Hasil prediksinya adalah sebagai berikut.
Tahun 2008 2009 2010 2011
Prediksi Keuntungan
(dalam milyar rupiah)
561117
Jika Anda bekerja di perusahaan garmen tersebut dan menempati
posisi sebagai akuntan keuangan, kemudian Anda mendapat tugas dari
Pak Sanusi untuk memprediksi keuntungan perusahaan pada tahun
2012 dan 2013, dapatkah Anda menjawabnya?
Jawab:
Keuntungan perusahaan garmen dari tahun 2008 hingga 2011 dapat
ditulis dalam urutan bilangan 5, 6, 11, 17, …(1)
Perhatikan urutan bilangan tersebut. Ternyata memiliki pola yang
dapat dinyatakan sebagai berikut.
U1
+ U2
= U3
Æ 5 + 6 = 11
U2
+ U3
= U4
Æ 6 + 11 = 17
Cermati kembali ilustrasi mengenai Andi dan Sandi pada awal
Bab 3 ini, diskusikan dengan kelompok, Anda kemudian jawablah
pertanyaan berikut.
1. Jika Andi ditugaskan oleh supervisornya untuk memasarkan
produknya untuk 15 rumah dan Sandi ditugaskan untuk 20
rumah, tentukan nomor rumah terakhir yang didatangi oleh
Andi dan Sandi.
2. Saat Andi selesai mendatangi rumah nomor 15, ia merasakan
telepon selularnya bergetar dan ternyata SMS dari Sandi
masuk. SMS itu berbunyi "Andi kamu telah mendatangi
berapa rumah? Aku sudah sampai di rumah nomor 30".
Dapatkah Anda membantu Andi menjawab SMS dari Sandi,
dan apa jawaban yang tepat?
3. Lihat kembali tugas nomor 2, berapakah jumlah rumah yang
telah didatangi Sandi saat ia kirim SMS untuk Andi?
Tugas Siswa 3.1
Gambar 3.3
Keuntungan perusahaan
garmen dapat diprediksi dengan
menggunakan konsep barisan
bilangan.91 Barisan dan Deret Bilangan
2. Deret Bilangan
Coba Anda cermati kembali Contoh Soal 3.1.
Jumlah kursi pada setiap barisnya dalam ruang seminar
tersebut dapat dinyatakan dengan barisan bilangan
3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, .... Urutan tersebut merupakan barisan
bilangan karena memiliki pola, yaitu "ditambah 2".
Pada pembahasan kali ini, Anda akan diperkenalkan dengan
konsep deret bilangan. Deret bilangan merupakan jumlah
beruntun dari suku-suku suatu barisan bilangan.
Berarti, deret bilangan dari barisan 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,...
adalah 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + .... Jika dalam ruang
seminar pada Contoh Soal 3.1, terdapat 7 baris kursi maka
Coba Anda cermati kembali Contoh Soal 3.2. Misalkan, hasil
penelitian konsultan keuangan mengenai prediksi keuntungan
perusahaan garmen dalam 4 tahun mendatang seperti tabel
berikut,
Tahun 2008 2009 2010 2011
Prediksi Keuntungan
(dalam milyar rupiah)
3 5 12 24
Diskusikanlah dengan kelompok Anda untuk memprediksikan
keuntungan perusahaan pada tahun 2012 dan 2015.
Tugas Siswa 3.2
Berarti urutan bilangan (1) tersebut merupakan barisan bilangan karena
memiliki pola tertentu.
Coba Anda amati, keuntungan perusahaan pada tahun 2012 merupakan
suku ke-5 dari barisan bilangan (1) dan keuntungan perusahaan pada
tahun 2013 merupakan suku ke-6, U5
dan U6
dihitung dengan cara
berikut.
U3
+ U4
= U5
fi 11 + 17 = 28
Berarti, keuntungan perusahaan pada tahun 2012 besarnya adalah 28
milyar rupiah. Dengan menambahkan U5
pada barisan bilangan (1),
diperoleh barisan bilangan berikut.
5, 6, 11, 17, 28, …(2)
U6
diperoleh dengan perhitungan berikut
U4
+ U5
= U6
fi 17 + 28 = 45,
Jadi, keuntungan perusahaan pada tahun 2013 adalah 45 milyar
rupiah.
Notes
• 1, 2, 3, 4, 5,...
dinamakan barisan
bilangan asli
• 2, 4, 6, 8,10,...
dinamakan barisan
bilangan asli genap
• 1, 3, 6, 10, 15,...
dinamakan barisan
bilangan segitiga
• 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,...
dinamakan barisan
bilangan fi bonacci
• 1, 4, 9, 16, 25,...
dinamakan barisan
persegi
• 2, 3, 5, 7, 11,...
dinamakan barisan
bilangan prima
Dapatkah Anda temukan
pola barisan-barisan
tersebut?Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK
Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi
92
jumlah seluruh kursi dalam ruang seminar tersebut dapat
dihitung dengan cara:
3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 63
Selanjutnya, diperoleh jumlah seluruh kursi dalam ruang
seminar tersebut adalah 63 buah. Hasil penjumlahan 7 suku
pada suatu deret disimbolkan dengan S7
maka pada deret 3 + 5
+ 7 + 9 + 11 + 13 + 15 +.... diperoleh S7
= 63.
Uraian tersebut memperjelas defi nisi deret berikut.
Jika U1
, U2
, U3
,
…, Un
merupakan suku-suku suatu barisan
maka U1
+ U2
+ U3
+ … + Un
dinamakan deret. Disimbolkan
dengan Sn
. Jadi, U1
+ U2
+ U3
+ …+ Un
= Sn
Berikut dapat dilihat beberapa contoh deret.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 dinamakan deret 6 bilangan asli pertama
2 + 3 + 5 + 7 + 11 dinamakan deret 5 bilangan prima pertama
0 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10 +12 dinamakan deret 7 bilangan genap
pertama.
Perhatikan deret bilangan asli, deret bilangan prima, dan deret
bilangan genap pada uraian di atas. Kemudian, tentukanlah S10
dari masing-masing deret tersebut.
Tugas Siswa 3.3
Untuk lebih memahami konsep deret bilangan, pelajari
Contoh Soal 3.3 berikut dengan baik.
Contoh Soal 3.3
Ani seorang staf di bagian personalia pada suatu perusahaan BUMN.
Ia mendapat kepercayaan untuk menjadi ketua panitia pada hari ulang
tahun ke-30 perusahaan tersebut. Peserta upacara pada hari ulang
tahun perusahaan itu akan berbaris seperti gambar berikut.
Kelompok 1 Kelompok 2 Kelompok 3
Terdiri atas 7 kelompok
Kelompok 4
….
Tentukan jumlah peserta upacara yang harus dipersiapkan Ani.
Jelajah
Matematika
Fibonacci
(1170–1250)
Leonardo dari Pisa
adalah orang yang
mengenalkan angka nol
ke dunia Barat. Anak
muda yang lebih dikenal
dengan nama Fibonacci
ini belajar matematika dari
orang-orang islam dan
menjadi matematikawan
jenius dengan autodidak.
Ia menemukan deret
bilangan yang diberi nama
seperti namanya, deret
Fibonacci, yaitu 1, 1, 2, 3,
5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,
144, 233, 377, …
Sumber: Ensiklopedi
Matematika,200893 Barisan dan Deret Bilangan
Contoh Soal 3.4
Biro Pusat Statistik memperkirakan bahwa angka kelahiran bayi di desa
Suka Senang setiap bulannya, dari bulan Januari hingga Desember,
selama tahun 2008 dapat dinyatakan dengan barisan bilangan 2, 6,
18,…. Nilai suku ke-1, ke-2, sampai ke-12 menyatakan jumlah bayi
yang lahir pada bulan Januari, Februari, sampai Desember.
Berdasarkan ilustrasi tersebut,
a. temukan pola barisan bilangan 2, 6, 18,…dan tentukan pula nilai
suku ke-4 sampai suku ke-6,
b. tentukan jumlah seluruh kelahiran hingga bulan Juni.
Jawab:
a. Perhatikan barisan bilangan 2, 6, 18, …
Nilai suku ke-2 barisan bilangan tersebut sama dengan hasil
perkalian nilai suku ke-1 dengan 3. Demikian juga nilai suku
ke-3 adalah hasil perkalian nilai suku ke-2 dengan 3.
U1
= 2
U2
= 2 ¥ 3 = 6
U3
= 6 ¥ 3 = 18
Berdasarkan uraian tersebut, nilai U4
, U5
, dan U6
barisan bilangan
tersebut dapat diperoleh dengan perhitungan berikut.
U4
= 18 ¥ 3 = 54
U5
= 54 ¥ 3 = 162
U6
= 162 ¥ 3 = 486
Jawab:
Jumlah peserta pada setiap kelompok dapat dinyatakan dengan barisan
bilangan 1, 4, 9, 16, ....
Oleh karena barisan upacara itu terdiri atas 7 kelompok maka
harus ditentukan jumlah peserta pada kelompok 5 hingga 7, dengan
menentukan pola bilangan pada barisan tersebut terlebih dahulu,
yaitu:
U1
= 1 maka 12
= 1 diperoleh U1
= 12
U2
= 4 maka 22
= 4 diperoleh U2
= 22
U3
= 9 maka 32
= 9 diperoleh U3
= 32
U4
= 16 maka 42
= 16 diperoleh U4
= 42
Berdasarkan uraian tersebut, diperoleh pola bilangan Un
= n2
sehingga diperoleh:
U5
= 52
= 25
U6
= 62
= 36
U7
= 72
= 49
Oleh karena urutan bilangan tersebut memiliki pola maka urutan
bilangan itu merupakan barisan bilangan.
Jadi, jumlah seluruh peserta upacara adalah
1 orang + 4 orang + 9 orang + 16 orang + 25 orang + 36 orang +
49 orang = 140 orang.Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK
Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi
94
1. Tentukan pola barisan berikut, kemudian ten-
tukanlah U6
U , U8
U U , dan U10
dari masing-masing
barisan.
a. –6, 2, 10, 18, … c. 9, 2, –5, –12, …
b. –1, 3, 8, 14, … d. 3, 1, –4, –8, …
2. Tentukanlah U5
U , U7
U U , dan U10
dari pola-pola
bilangan berikut.
a. Un
= 2n + 3 c. Un
= n2
+ 2n
b. Un
= 3n – 5 d. Un
= 7n – n2
3. Buatlah deret 10 suku pertama dari suku-suku
barisan pada soal nomor 1. Tentukanlah nilai
S10
dari deret tersebut.
4. Data kelahiran bayi di Kecamatan Rukun
Makmur selama tahun 2000 sampai 2007
dapat dinyatakan dengan barisan berikut.
40 bayi, 80 bayi, 160 bayi, ...
Berdasarkan ilustrasi tersebut, jawablah per-
tanyaan berikut.
a. Tentukanlah pola barisan yang menyata-
kan angka kelahiran bayi di Kecamatan
Rukun Makmur.
b. Tentukan angka kelahiran bayi pada
tahun 2006 dan 2007.
c. Tentukan jumlah seluruh bayi yang lahir
dari tahun 2000 hingga 2007.
5. Data nilai ekspor dari perusahaan bisnis ada-
lah sebagai berikut.
Tahun Tahun
Nilai Ekspor Nilai Ekspor
(dalam milyar rupiah) (dalam milyar rupiah)
2002 3
2003 4
2004 6
2005 9
2006 13
2007 18
2008 …
2009 …
Berdasarkan ilustrasi tersebut, jawablah
pertanyaan-pertanyaan berikut.
Kerjakan soal-soal berikut di buku latihan Anda.
Evaluasi Materi 3.1
b. Kelahiran bayi pada bulan Januari sampai dengan Juni
membentuk barisan bilangan 2, 6, 18, 54, 162, 486.
Jadi, jumlah seluruh kelahiran bayi dari bulan Januari hingga Juni
besarnya adalah 2 + 6 + 18 + 54 + 162 + 486 = 728 kelahiran.
Lakukan tugas ini secara bekelompok. Datangilah kantor kelurahan
atau kecamatan di tempat tinggalmu, kemudian mintalah data
tentang jumlah seluruh angka kelahiran bayi dari tahun 1995
hingga tahun 2007. Dari data tersebut, dapatkah Anda menemukan
polanya?. Kemudian prediksilah jumlah kelahiran dari tahun 2008
hingga 2012, dan hitunglah seluruh kelahiran dari tahun 2008
hingga 2012.
Tugas Siswa 3.495 Barisan dan Deret Bilangan
B Barisan dan Deret Aritmetika
Secara umum, Anda telah mempelajari perbedaan antara
barisan dan deret bilangan pada Subbab A. Pada Subbab ini,
Anda akan mempelajari barisan dan deret yang khusus, yaitu
barisan dan deret aritmetika. Pelajarilah uraian berikut dengan
baik.
1. Barisan Aritmetika
Ciri barisan aritmetika adalah antara bilangan pada suku-
suku yang berdampingan memiliki selisih atau beda yang tetap.
Perhatikan barisan berikut.
(i) 0, 2, 4, 6,…
(ii) 8, 5, 2, –1, –4,…
Jika Anda cermati, setiap suku-suku yang berdampingan pada
barisan bilangan (i) selalu memiliki beda yang tetap, yaitu 2.
2 – 0 = 4 – 2 = 6 – 4 = 2.
Secara umum, dapat ditulis sebagai berikut.
U2
– U1
= U3
– U2
= U4
– U3
= Un
– Un – 1
= b
Pada barisan aritmetika, beda disimbolkan dengan , dan
suku ke-1 yaitu U1
disimbolkan dengan a.
Berdasarkan uraian tersebut, ciri barisan aritmetika adalah
sebagai berikut.
Un
– Un –1
= b
Rumus suku ke-n dinyatakan dengan persamaan:
Un
= a + (n – 1)b
Barisan (i) memiliki a = 0, dan b = 2. Suku-suku pada
barisan itu dapat dinyatakan sebagai berikut.
U1
= 0 + (1 – 1) ◊ 2 = 0
U2
= 0 + (2 – 1) ◊ 2 = 2
U3
= 0 + (3 – 1) ◊ 2 = 4
U4
= 0 + (4 – 1) ◊ 2 = 6
a. Jika nilai ekspor dari tahun 2002 hingga
2007 membentuk suatu barisan bilangan
maka tentukan pola barisan bilangan
tersebut
b. Prediksilah nilai ekspor perusahaan pada
tahun 2008 dan 2009.
c. Hitunglah jumlah prediksi nilai ekpor
perusahaan tersebut dari tahun 2002
sampai dengan tahun 2010.
Kata Kunci
• barisan aritmetika
• deret aritmetikaAktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK
Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi
96
Gambar 3.4
Jika tabungan awal diketahui
dan jumlah perubahan tabungan
konstan setiap bulannya maka
bulan ke-n dapat ditentukan dengan
menggunakan barisan aritmetika.
Soal Pilihan
Lihat kembali barisan (ii) pada uraian di atas. Tentukanlah rumus
suku ke-n pada barisan (ii) dan tentukan bilangan yang merupakan
suku ke-20 pada barisan (ii).
Tugas Siswa 3.5
maka diperoleh rumus suku ke-n pada barisan (i) adalah sebagai
berikut.
Un
= a + (n – 1)b
Un
= 0 + (n – 1) ◊ 2
Un
= 0 + 2n – 2
Un
= 2n – 2
Contoh Soal 3.5
Andi membuka rekening tabungan di sebuah Bank. Pada bulan pertama,
ia menyetor uang Rp100.000,00. Jumlah setoran akan ia naikkan
sebesar Rp 20.000,00 dari setiap bulan sebelumnya. Tentukan:
a. besar setoran Andi pada bulan ke-10,
b. pada bulan ke berapakah jumlah setoran Andi Rp 340.000,00?
Jawab:
a. Jumlah setoran Andi setiap bulannya dapat dituliskan dengan
barisan berikut.
100.000, 120.000, 140.000, …
Setoran bulan ke-1
Setoran bulan ke-2
Setoran bulan ke-3
Barisan tersebut merupakan barisan aritmetika karena beda setiap
suku yang bersebelahan besarnya tetap.
Setoran pada bulan ke-1 = a = 100.000
Kenaikkan setoran setiap bulannya = b = 20.000
Setoran pada bulan ke-10 menyatakan suku ke-10 atau U10
dari
barisan tersebut.
Dengan menggunakan rumus suku ke-n; diperoleh
Un
= a + (n – 1) ◊b
U10
= 100.000 + (10 – 1) ◊ 20.000
U10
= 100.000 + 9 ◊ 20.000
U10
= 100.000 + 180.000
U10
= 280.000
Jadi, setoran Andi pada bulan ke-10 besarnya adalah Rp 280.000,00
Seorang ayah
membagikan uang sebesar
Rp100.000,00 kepada
4 orang anaknya. Makin
muda usia anak, makin
kecil uang yang diterima.
Selisih yang diterima oleh
setiap dua anak yang
usianya berdekatan adalah
Rp5000,00. Tentukan
jumlah uang yang diterima
oleh si bungsu.
UAN, 2003
Sumber : www.ebizzasia.com
Konsep barisan aritmetika dapat diaplikasikan dalam
kehidupan sehari-hari. Pelajarilah Contoh Soal 3.5 berikut agar
Anda dapat memahaminya dengan baik.97 Barisan dan Deret Bilangan
Contoh Soal 3.6
Ayu seorang staf personalia di sebuah perusahaan manufaktur. Ia
mendapat tugas dari manajer untuk membuat laporan mengenai
jumlah surat lamaran yang masuk ke perusahaan tersebut dari tahun
1999 sampai tahun 2006. Akan tetapi, catatan tersebut hilang. Ia
hanya mengingat bahwa jumlah surat lamaran setiap tahun dari tahun
1999 sampai tahun 2006 membentuk suatu barisan aritmetika, jumlah
pelamar pada tahun 2001 dan tahun 2005 besarnya masing-masing
adalah 110 dan 210. Berdasarkan ilustrasi tersebut, tentukan jumlah
pelamar setiap tahunnya dari tahun 1999 sampai tahun 2006.
Jawab:
Jika jumlah pelamar setiap tahun membentuk suatu barisan aritmetika,
berarti jumlah pelamar pada tahun 1999 merupakan suku ke-1, jumlah
pelamar pada tahun 2000 merupakan suku ke-2, dan seterusnya.
Oleh karena, jumlah pelamar pada tahun 2001 dan 2005 merupakan
suku ke-3 dan suku ke-7 dari barisan aritmetika tersebut.
Oleh karena rumus suku ke-n barisan aritmetika adalah
Un
= a + (n – 1)b maka diperoleh
U3
U U = a + (3 – 1)b = a + 2b
Oleh karena U3
U U = 110 maka a +2b = 110 …(1), dan
U7
U U = a + (7 – 1)b = a + 6b,
Oleh karena U7
U U = 210 maka a + 6b = 210 …(2).
Untuk memperoleh beda (b) dari deret aritmetika, dapat digunakan
cara substitusi berikut. Dari persamaan (1), diperoleh
a + 2b = 110 ¤a = 110 – 26 …(3)
Subtitusi persamaan (3) pada persamaan (2), diperoleh
(110 – 2b + 6b )= 210
110 + 4b = 210
110 + 4b = 210
Soal Pilihan
b. Pada bulan ke-n, setoran Andi sebesar Rp340.000, berarti diperoleh
persamaan sebagai berikut.
Un
= 340.000 ...(1)
Un
= a + (n – 1) ◊ b = 100.000 + (n – 1) 20.000 ...(2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
340.000 = 100.000 + (n – 1) 20.000
340.000 – 100.000 = 20.000 (n – 1)
240.000 = 20.000 (n – 1)
n – 1 =
240.000
20.000
n – 1 = 12
n – 1 = 13
Jadi, setoran Andi pada bulan ke-13 besarnya Rp340.000,00.
Buatlah 5 contoh barisan
aritmetika selain contoh
yang sudah ada. Dari ke- 5
contoh tersebut, tentukan
pula rumus jumlah suku n
pertamanya
Untuk lebih memahami konsep barisan aritmetika
pelajarilah Contoh Soal 3.6 berikut.Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK
Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi
98
2. Deret Aritmetika
Coba Anda lihat kembali Contoh Soal 3.3 pada pembahasan
sebelumnya. Jika ditanyakan "berapakah besar setoran Andi
seluruhnya selama 10 bulan pertama?" maka jawabannya adalah
deret berikut:
S10
=
100.000 + 120.000 + 140.000 + … + 280.000
Setoran bulan ke-1 Setoran bulan ke-10
Deret tersebut merupakan deret aritmetika karena setiap
sukunya memiliki perbedaan tetap. Deret tersebut menyatakan
jumlah 10 suku pertama, disimbolkan dengan S10
.
Pada pembahasan sebelumnya, Anda telah mengetahui
bahwa jumlah n suku pertama dari suatu deret disimbolkan
dengan Sn
.
Jumlah n suku pertama deret aritmetika dapat diperoleh dengan
persaman berikut.
Sn
=
n n
2 2
(a + Un
) atau
Sn
=
n n
2 2
(2a + (n – 1) b)
Keterangan:
n = banyak suku, a = suku pertama, dan b = beda
Jumlah total setoran Andi selama 10 bulan pertama dapat
dihitung dengan perhitungan berikut.
Sn
=
n
2
(2a + (n – 1)b)
di mana n = 10, a = 100.000, dan b = 20.000 sehingga diperoleh
4b = 210 – 110
b =
210 110
4
100
4
-
= =25
Kemudian, untuk memperoleh U1
= a
substitusi b = 25 pada persamaan (3) sehingga diperoleh
a = 110 – 2 (25)
= 110 – 50
= 60
Jadi, suku pertama deret tersebut adalah 60.
Berdasarkan hasil perhitungan tersebut, diperoleh barisan aritmetika
yang menyatakan jumlah pelamar dari tahun 1999 hingga tahun 2006
adalah sebagai berikut.
60 orang, 85 orang, 110 orang, 135 orang, 160 orang, 185 orang,
210 orang.99 Barisan dan Deret Bilangan
Soal Pilihan S10
=
10
2
(2 ◊ 100.000 + (10 – 1) ◊ 20.000
S10
= 5 ◊ (200.000 + 9 ◊ 20.000)
S10
= 5 ◊ (200.000 + 180.000)
S10
= 5 ◊ (380.000)
S10
= 1.900.000
Berdasarkan perhitungan tersebut, diperoleh besar setoran
Andi selama 10 bulan adalah Rp1.900.000,00.
Untuk jumlah suku yang tidak banyak, dapat dihitung dengan
cara berikut:
100.000 + 120.000 + 140.000 + 160.000 + 180.000 + 200.000
+ 220.000 + 240.000 + 260.000 + 280.000 = 1.900.000
Diperoleh hasil yang sama, tetapi untuk n yang cukup
besar cara ini akan memakan waktu lama. Uraian tersebut
memperjelas defi nisi deret aritmetika berikut.
Contoh Soal 3.7
Jumlah angka kelahiran bayi di desa Sukamaju pada 1995 banyaknya
1.000 orang per tahun. Biro Pusat Statistik (BPS) memperkirakan
bahwa jumlah kelahiran bayi pada tahun-tahun berikutnya akan
meningkat 200 orang dari tahun sebelumnya. Berdasarkan perkiraan
BPS tersebut, tentukan:
a. jumlah bayi yang lahir pada tahun 2007,
b. jumlah seluruh kelahiran bayi dari tahun 1995 hingga tahun 2005,
c. jumlah seluruh kelahiran bayi dari tahun 2000 hingga tahun 2005.
Jawab:
a. Jumlah bayi yang lahir setiap tahun di desa Sukamaju dapat
ditulis dalam barisan aritmetika berikut.
1.000, 1.200, 1.400, …
Bayi yang lahir pada tahun 1995
Bayi yang lahir pada tahun 1996
Bayi yang lahir pada tahun 1997
Bayi yang lahir pada tahun 1995 = a = 1.000
Kenaikan jumlah kelahiran bayi tiap tahun = b = 200
Bayi yang lahir pada tahun 2007 merupakan suku ke-13 dari
barisan aritmetika tersebut. Berarti, bayi yang lahir pada tahun
2007 = U13
dan n = 13
Dengan menggunakan rumus suku ke-n:
Un
= a + (n – 1) ◊b, diperoleh
Gambar 3.5
Jumlah angka kelahiran dari tahun
ke tahun dapat ditentukan dengan
konsep barisan dan deret aritmetika.
Keuntungan seorang
pedagang bertambah
setiap bulan dengan
jumlah yang sama.
Keuntungan sampai bulan
keempat Rp30.000,00 dan
sampai bulan kedelapan
Rp172.000,00. Tentukan
keuntungan pedagang itu
sampai bulan ke-18.
UMPTN, 1998
Sumber : images.diniauliya.
multiply.com
Jika U1
, U2
, U3
, … Un
merupakan suku-suku barisan
aritmetika, maka U1
+ U2
+ U3
… + Un
dinamakan deret
aritmetika.Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK
Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi
100
U13
= 1.000 + (13 – 1)·200
U13
= 1.000 + 12·200
U13
= 1.000 + 2.400
U13
= 3.400
Jadi, jumlah kelahiran bayi pada tahun 2007 adalah 3.400 orang.
b. Dari tahun 1995 sampai tahun 2005 terdiri atas 11 suku.
Jumlah seluruh bayi yang lahir dari tahun 1995 hingga tahun
2005, adalah S11
dengan a = 1.000, b = 200, dan n = 11.
Dengan menggunakan rumus jumlah n suku pertama dari deret
aritmetika, diperoleh
Sn
=
n
2
(2a + (n – 1)b)
S11
=
11
2
(2 ◊ 1.000 + (11 – 1) ◊ 200)
S11
=
11
2
(2.000 + (10) ◊ 200)
S11
=
11
2
(2.000 + 2.000)
S11
=
11
2
(4.000)
S11
= 22.000
Jadi, jumlah seluruh bayi yang lahir dari tahun 1995 hingga tahun
2005 adalah 22.000 orang.
c. Jumlah seluruh kelahiran bayi dari tahun 2000 hingga tahun 2005
dapat dihitung dengan menjumlah seluruh kelahiran bayi dari tahun
1995 sampai dengan tahun 2005. Kemudian, dikurangi jumlah
seluruh kelahiran bayi dari tahun 1995 sampai tahun 2000.
Jumlah bayi yang
lahir dari tahun
1995 hingaga tahun
2000 = S6
Jumlah bayi yang lahir dari tahun 1995 hingga tahun 2005 = S11
Jumlah bayi yang lahir dari tahun
2000 hingga tahun 2005 = S11
– S6
1995
U1
2000
U6
2005
U11
Jumlah seluruh kelahiran bayi dari tahun 2000 hingga tahun 2005
adalah S11
– S6
, di mana
S11
= 22.000
S6
=
6
2
(2 · 1.000 + (6 – 1) -200)
= 3 (2.000 + 1.000)
= 9.000
Suatu perusahan
pada tahun pertama
memproduksi 5.000
unit barang. Pada
tahun-tahun berikutnya
produksinya turun secara
tetap sebesar 80 unit per
tahun. Produksi 3.000 unit
barang terjadi pada tahun
ke ….
a. 24
b. 25
c. 26
d. 27
e. 28
Jawab
U1
= 5.000
b = 80
Un
= 3.000
Un
= a + (n – 1) b
3.000 = 5.000 + (n – 1)
(–80)
–2.000 = –80 n + 80
= –80 n
n =
-
-
2 080
80
.
= 26
Jawaban: c
UAN SMK, 2002
Solusi Cerdas101 Barisan dan Deret Bilangan
sehingga
= 22.000 – 9.000
= 12.000
Jadi, jumlah kelahiran bayi dari tahun 2000 hingga tahun 2005
adalah 12.000 orang.
Contoh Soal 3.8
Diperoleh data mengenai jumlah karyawan baru yang diterima oleh
suatu perusahaan dari tahun 1997 sampai tahun 2006. Ternyata data
tersebut membentuk suatu barisan aritmetika. Diketahui jumlah
seluruh karyawan yang diterima selama kurun waktu dari tahun 1997
sampai tahun 2006 berjumlah 325 orang, dan jumlah karyawan yang
diterima pada tahun 2000 adalah 25 orang. Tentukanlah:
a. jumlah karyawan yang diterima perusahaan tersebut pada tahun
2004,
b. jumlah seluruh karyawan yang diterima perusahaan tersebut
dalam kurun waktu tahun 2000 hingga 2006.
Jawab:
a. Jumlah karyawan yang diterima oleh perusahaan tersebut dari
tahun 1997 sampai tahun 2006 dapat dinyatakan dengan barisan
bilangan berikut.
U1
, U2
U U , U3
U U , …, U10
….
1997 1998 …
Oleh karena dari tahun 1997 sampai tahun 2006 terdiri atas 10 suku
maka jumlah seluruh karyawan yang diterima oleh perusahaan
tersebut dari tahun 1997 hingga tahun 2006 merupakan deret 10
suku pertamanya, yaitu
U1
+ U2
U U + U3
U U + ... + U10
= 325
S10
= 325
Dengan mengingat rumus jumlah n suku pertama suatu deret
aritmetika
Sn
=
n
2
(2a + (n – 1) b) maka diperoleh persamaan berikut.
S10
=
10
2
(2a + (10 – 1)b)
325 = 5(2a + 9b)
325 = 10a + 45b …(1)
Persamaan lainnya dapat diformulasikan dari keterangan bahwa
jumlah karyawan yang diterima pada tahun 2000 adalah 25 orang.
Jumlah karyawan yang diterima pada tahun 2000 merupakan
suku ke-4 dari barisan maka dengan rumus Un
= a + (n – 1)b,
diperoleh persamaan
U4
U = a + (4 – 1)b
U4
U = a + 3b
25 = a + 3b …(2)Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK
Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi
102
1. Perhatikan barisan aritmetika berikut.
i. 2, 7, 12, 17, …
ii. –3, 5, 13, 21, …
iii. 12, 6, 0, –6, …
iv. 2, –3, –8, –13, …
Kerjakan soal-soal berikut di buku latihan Anda.
Evaluasi Materi 3.2 .2
Dari persamaan (2), diperoleh
25 = a + 3b ¤ a = 25 – 3b …(3)
Substitusi persamaan (3) pada persamaan (1), diperoleh
persamaan berikut.
325 = 10( 25 – 3b) + 45b
325 = 250 – 30b + 45b
325 – 250 = 15b
75 = 15b
b =
75
15
= 5
Jadi, diperoleh beda barisan aritmetika tersebut adalah b = 5.
Untuk memperoleh nilai a = U1
, substitusi b = 5 pada persamaan
(3), diperoleh
a = 25 – 3(5)
a = 25 – 15
a = 10
Jumlah karyawan yang diterima perusahaan tersebut pada tahun
2004 merupakan suku ke-8 maka diperoleh
U8
= a + (8 – 1)b = 10 + (7)◊ 5 = 10 + 35 = 45.
Jadi, jumlah karyawan yang diterima perusahaan tersebut pada
tahun 2004 adalah 45 orang.
b. Jumlah seluruh karyawan yang diterima pada tahun 2000 sampai
tahun 2006 dapat dihitung dengan mengurangkan jumlah seluruh
karyawan yang diterima pada tahun 1997 sampai tahun 2006
dengan jumlah seluruh karyawan yang diterima pada tahun 1997
sampai tahun 1999.
Karyawan yang diterima pada tahun 1997 sampai tahun 2006
adalah 325 orang dan yang diterima pada tahun 1997 sampai
tahun 1999 merupakan penjumlahan deret 3 suku pertamanya.
Dengan demikian, diperoleh
325 – S3
= 325 –
3
2
(2(10) + (3 – 1) 5)
= 325 –
3
2
(20 + 10)
= 325 – 45
= 280
Jadi, jumlah seluruh karyawan yang diterima pada tahun 2000
sampai tahun 2006 ada 280 orang.103 Barisan dan Deret Bilangan
Jawablah pertanyaan berikut.
a. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan-
barisan tersebut.
(Petunjuk: tentukan dahulu nilai a
dan b dari setiap barisan, kemudian
substitusikan ke rumus Un
)
b. Tentukan suku ke 17 dari barisan i, suku
ke-10 dari barisan ii, suku ke-9 dari
barisan iii, dan suku ke 12 dari barisan
iv.
c. Pada barisan i, tentukan nilai n jika
Un
= 77.
d. Pada barisan ii, tentukan nilai n jika
Un
= 93
e. Pada barisan iii, tentukan nilai n jika
Un
= –108
f. Pada barisan iv, tentukan nilai n jika
Un
= 48
g. Tentukan jumlah 10 suku pertama pada
barisan i.
h. Tentukan jumlah 20 suku pertama pada
barisan ii.
i. Tentukan jumlah 15 suku pertama pada
barisan iii.
j. Tentukan jumlah 10 suku pertama pada
barisan iv.
k. Tentukan hasil penjumlahan seluruh
suku dari suku ke-5 hingga suku ke-12
pada barisan i.
l. Tentukan hasil penjumlahan seluruh
suku dari suku ke-10 hingga suku ke-15
pada barisan iv.
2. Tentukan banyaknya suku pada barisan
aritmetika berikut ini.
a. –4, 8, 20, …176
b. 10, 6, 2, -2, …, –70
c. 8, 23, 38, …, 158.
3. Tentukan hasil penjumlahan seluruh suku
pada barisan a, b, dan c soal nomor 2.
4. Pak Budi membuka peternakan ayam pada awal
tahun 2007. Mula-mula dipelihara 60 ekor
ayam. Selama bulan Januari 2007, menetas
10 ekor ayam. Diprediksi jumlah ayam yang
menetas setiap bulan akan bertambah 5 ekor
dari bulan sebelumnya. Tentukan.
a. jumlah ayam yang menetas pada bulan
Februari 2008,
Sumber : www.goodexperience.co
b. jumlah seluruh ayam yang menetas se-
lama tahun 2007,
c. jumlah seluruh ayam yang dimiliki Pak
Budi sampai Desember 2008,
d. jumlah ayam yang menetas sepanjang
tahun 2008.
5. Berdasarkan sensus Departemen Sosial yang
dilakukan di Kota X, berhasil diketahui
bahwa jumlah seluruh penduduk yang hidup
di bawah garis kemiskinan pada tahun 2000
adalah 576.000 jiwa. Setelah perbaikan
ekonomi nasional, pada tahun 2001 jumlah
penduduk miskin berkurang 1000 orang.
Pengurangan jumlah penduduk miskin
tersebut setiap tahun akan meningkat 2000
orang dari setiap tahun sebelumnya. Kapan
seluruh penduduk kota X akan seluruhnya
hidup di atas garis kemiskinan?
6. Dalam suatu perusahaan terdapat 5 divisi.
Divisi-divisi tersebut memiliki jumlah
personel. Jika divisi-divisi tersebut diurutkan
mulai dari yang jumlah personelnya paling
sedikit ke jumlah personel yang makin banyak
maka diperoleh urutan sebagai berikut: divisi
personalia, divisi logistik, divisi keuangan,
divisi pemasaran, dan divisi produksi.
Setelah diurutkan, ternyata jumlah masing-
masing personel dari setiap divisi tersebut
membentuk barisan aritmetika.
Jika diketahui jumlah personel divisi keuangan
adalah 320 orang dan jumlah personel divisi
pemasaran dan produksi adalah 820 orang,
tentukan:
a. jumlah seluruh personel divisi personalia
dan divisi logistik.
b. jumlah seluruh karyawan perusahaan
tersebut.Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK
Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi
104
C Barisan dan Deret Geometri
Pada subbab B, Anda telah mempelajari barisan aritmetika.
Ciri barisan aritmetika memiliki beda yang sama. Pada subbab
ini, Anda akan mempelajari barisan geometri. Apakah perbedaan
antara barisan aritmetika dan barisan geometri? Pelajarilah
uraian berikut.
1. Barisan Geometri
Coba Anda perhatikan barisan berikut.
a. 3, 9, 27, 81, ...
b. 32, 18, 8, 4, ...
Dari barisan a, dapat dilihat bahwa pada suku-suku yang
berdekatan memiliki hasil bagi yang tetap, yaitu:
U
U
2
1
9
3
3 ==
U
U
3
2
27
9
3 ==
U
U
4
3
81
27
3 ==
Berdasarkan perhitungan tersebut, Anda dapat melihat
bahwa hasil bagi pada barisan tersebut adalah 3. Barisan tersebut
memiliki ciri tertentu, yaitu perbandingan dua suku berurutan
memiliki nilai tetap (konstan). Barisan yang memiliki ciri seperti
ini disebut barisan geometri. Perbedaan yang konstan itu disebut
rasio.
Uraian tersebut memperjelas bahwa barisan geometri
memiliki ciri sebagai berikut.
U U
U U
r r
n n
n n- -1 1
= =
dengan r merupakan rasio barisan geometri.
Rasio pada barisan geometri dapat merupakan bilangan
bulat (positif dan negatif), dapat pula merupakan bilangan
pecahan (positif dan negatif).
Coba Anda lihat barisan b pada pembahasan sebelumnya.
Barisan tersebut memiliki urutan bilangan sebagai berikut.
32, 16, 8, 4, …
Kata Kunci
• barisan geometri
• deret geometri
• rasio105 Barisan dan Deret Bilangan
Dari suatu barisan
geometri diketahui suku
ke-5 adalah 25 dan suku
ke-7 adalah 625. Suku
ke-3 barisan tersebut
adalah ….
a.
1
25
b.
1
5
c. 0
d. 1
e. 5
Jawab
U5
= 25 = ar
4
…. (1)
U7
= 625 = ar6
…. (2)
Dari (1) dan (2) diperoleh
ar
ar
6
4
625
25
= ¤ r2
= 25
r = ± 5
Dari (1), diperoleh
ar4
= a (5)4
= 25
a · 625 = 25
a =
25
625
=
1
25
U3
= ar2
=
1
25
· (5)2
Jawaban: d
UAN SMK, 2003
Solusi Cerdas Rasio pada barisan tersebut adalah
r =
U
U
n
n-1
r =
U
U
U
U
U
U
2
1
3
2
4
3
==
r =
16
32
8
16
4
8
==
r =
1
2
Coba Anda bandingkan barisan a dan barisan b pada
pembahasan tersebut. Apa yang dapat Anda simpulkan?
• Jika r > 1 maka semakin besar sukunya, bilangan juga
semakin besar.
• Jika r < 1 maka semakin besar sukunya, bilangan juga
semakin kecil.
Rumus suku ke-n barisan geometri dapat dinyatakan
sebagai berikut.
Un
= a · rn – 1
dengan a merupakan suku ke-1 dan r merupakan rasio bilangan.
Dapatkah Anda menentukan rumus suku ke-n pada barisan
a dan b ?
Barisan a memiliki a = 3 dan r = 3 maka rumus suku ke-n
barisan ini adalah Un
= 3 · 3n – 1
Un
= 31
· 3n
· 3– 1
Un
= 3n
· 31–1
Un
= 3n
· 30
Un
= 3n
Jadi, rumus suku ke-n barisan 3, 9, 27, 81, ...
Barisan b memiliki a = 32 dan r =
1
2
maka rumus suku
ke-n barisan ini adalah sebagai berikut.
Un
= 32 ·
1
2
1 n-
Un
= 32 ·
1
2
1
2
1
Ê
Ë
Á
Ê Ê
Ë Ë
ˆ
¯
˜
ˆ ˆ
¯ ¯
◊
Ê
Ë
Á
Ê Ê
Ë Ë
ˆ
¯
˜
ˆ ˆ
¯ ¯
- n
Un
= 32 ·
1
2
Ê
Ë
Á
Ê Ê
Ë Ë
ˆ
¯
˜
ˆ ˆ
¯ ¯
n
. 2
Un
= 64 ·
1
2
Ê
Ë
Á
Ê Ê
Ë Ë
ˆ
¯
˜
ˆ ˆ
¯ ¯
n
Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK
Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi
106
Jadi, rumus suku ke-n barisan 32, 16, 8, 4, ... adalah
Un
= 64
1
2
Ê
Ë
Á
Ê Ê
Ë Ë
ˆ
¯
˜
ˆ ˆ
¯ ¯
n
.
Sekarang, coba Anda perhatikan uraian berikut.
• Bilangan pada suku ke-1 adalah U1
= 64 ·
1
2
1
Ê
Ë
Á
Ê Ê
Ë Ë
ˆ
¯
˜
ˆ ˆ
¯ ¯
U1
= 64 ·
1
2
U1
= 32
• Bilangan pada suku ke-2 adalah U2
= 64 ·
1
2
2
Ê
Ë
Á
Ê Ê
Ë Ë
ˆ
¯
˜
ˆ ˆ
¯ ¯
U2
= 72 ·
1
4
U2
= 16
• Bilangan pada suku ke-3 adalah U3
= 64 ·
1
2
3
Ê
Ë
Á
Ê Ê
Ë Ë
ˆ
¯
˜
ˆ ˆ
¯ ¯
U3
= 64 ·
1
8
U3
= 8
Contoh Soal 3.9
Berdasarkan penelitian Biro Pusat Statistik (BPS), pertumbuhan
penduduk di kota A, selalu meningkat 3 kali dari tahun sebelumnya.
Hasil sensus penduduk tahun 1998 menunjukkan jumlah penduduk
di kota tersebut adalah 900.000 jiwa.
Tentukan:
a. barisan geometri yang menyatakan jumlah penduduk di kota A,
mulai dari tahun 1998,
b. jumlah penduduk di kota A pada tahun 2008 (menurut penelitian
BPS).
Jawab:
a. Jumlah penduduk di kota A tahun 1998 = a = 900.000
Pertumbuhan penduduk meningkat 3 kali dari tahun sebelumnya,
berarti rasio = 3 atau r = 3. r
Diperoleh barisan geometri sebagai berikut.
900.000, 2.700.000, 8.100.000, ….
×3 ×3
Jadi, barisan geometri yang dimaksud adalah 900.000, 2.700.000,
8.100.000, ...
Search
Ketik: www.e-dukasi.net/
mapok/barisan dan
deret.
Website ini memuat
materi barisan dan deret,
yang terdiri atas barisan
dan deret aritmetika
dan geometri. Selain
itu, memuat latihan dan
simulasi menggunakan
animasi sehingga Anda
dapat berlatih secara on-
line.107 Barisan dan Deret Bilangan
Contoh Soal 3.10
Biro Pusat statistik memperoleh data yang menyatakan bahwa jika
angka pengangguran diurutkan mulai dari tahun 2002 hingga tahun
2007 maka terbentuk suatu barisan geometri. Diperoleh juga informasi
bahwa angka pengangguran pada tahun 2004 adalah 2000 orang dan
tahun 2006 adalah 8000 orang.
Berdasarkan ilustrasi tersebut, tulislah barisan geometri yang
menyatakan angka dari tahun 2002-tahun 2007.
Jawab:
Barisan geometri yang dimaksud adalah sebagai berikut. Angka
pengangguran tahun 2002, pengangguran tahun 2003, pengangguran
tahun 2004, pengangguran tahun 2005, pengangguran tahun 2006,
pengangguran tahun 2007.
Berdasarkan barisan geometri tersebut, diperoleh keterangan bahwa
angka pengangguran pada tahun 2004 adalah 2000, merupakan suku
ke-3 atau dituliskan U3
= 2000. Dengan memperhatikan bahwa rumus
suku ke-n pada barisan geometri dapat ditulis sebagai Un
= a.rn–1
,
maka diperoleh,
b. Jumlah penduduk tahun 1998 = 900.000 Æ suku ke-1
Jumlah penduduk tahun 1999 = 2.700.000 Æ suku ke-2
Jumlah penduduk tahun 2008 = …? Æ suku ke-11
Berdasarkan pembahasan pada soal a, diperoleh
a = U1
= 900.000
r = 3
diperoleh rumus suku ke-n sebagai berikut
Un
= arn – 1
Un
= 900.000 · 3n – 1
Un
= 900.000 ·
3
3
n
3n
·3–1
Un
= 300.000 · 3n
Jumlah penduduk kota A tahun 2008 merupakan bilangan pada
suku ke-11 dari barisan geometri sehingga diperoleh
U11
= 300.000 ¥ 3 ¥ 11
U11
= 53.144.100.000 jiwa.
Jadi, jumlah penduduk kota A pada tahun 2008 adalah
53.144.100.000 jiwa.
Gambar 3.6
Jumlah penduduk di suatu kota dari
tahun ke tahun dapat diprediksi
menggunakan barisan dan deret
geometri.
Sumber: dementad.com
Contoh Soal 3.9 merupakan aplikasi dari barisan geometri.
Contoh lain dari aplikasi barisan geometri dapat Anda pelajari
pada Contoh Soal 3.10 berikut.Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK
Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi
108
2. Deret Geometri
Coba perhatikan barisan geometri berikut.
3, 9, 27, 81, …
Dapatkah Anda menghitung jumlah 4 suku pertamanya?
Untuk menghitung jumlah 4 suku pertamanya, dapat dilakukan
penjumlahan 3 + 9 + 27 + 81 = 120.
Search
Ketik: http://bebas_
vism.org/v12/
sponsor/sponsor.
pendamping/
praweda/
matematika
Bunga majemuk
merupakan salah satu
aplikasi deret geometri.
Website ini memuat rumus
bunga majemuk yang
dapat digunakan untuk
masalah pertumbuhan
tanaman, perkembangan
bakteri (p70), juga untuk
masalah penyusutan
mesin.
U3
= 2000
ar3 – 1
= 2000
ar2
= 2000....(1)
Angka pengangguran pada tahun 2006 adalah 8000, merupakan suku
ke-5. Dengan cara yang sama, diperoleh
U5
= 8000
ar5 – 1
= 8000
ar4
= 8000....(2)
Dari persamaan (1) dapat diperoleh persamaan(3) berikut.
ar2
= 2000 ¤
2000
2
r
…(3)
Substitusi persamaan (3) ke persamaan (2) diperoleh
2000
2
r
◊ r4
= 8000
2000 ◊ r2
= 8000
r2
=
8 000
2 000
.
.
r2
= 4
r = ± 4
diperoleh r1
= 2 dan r2
= –2
Diperoleh 2 buah nilai r, yaitu 2 dan –2. Untuk nilai rasio barisan
geometri pada kasus permasalahan ini tidak mungkin bernilai negatif
(coba Anda jelaskan mengapa?).
Oleh sebab itu, diambil nilai r = 2, kemudian substitusi pada persamaan
(3), sehingga diperoleh a ===
2000
2
2000
4
500 2
.
Oleh karena a menyatakan nilai suku ke-1 maka diperoleh U1
= 500,
dan nilai suku-suku ke-2 hingga ke-6 diperoleh dengan perhitungan
berikut.
U2
= 500 ◊ 22 – 1
= 500 ◊ 2 = 1000
U3
= 500 ◊ 23 – 1
= 500 ◊ 4 = 2000
U4
= 500 ◊ 24 – 1
= 500 ◊ 8 = 4000
U5
= 500 ◊ 25 – 1
= 500 ◊ 16 = 8000
U6
= 500 ◊ 26 – 1
= 500 ◊ 32 = 16000
Dengan demikian, diperoleh barisan geometri yang menyatakan angka
pengangguran di desa dari tahun 2002 sampai tahun 2007 adalah 500,
1000, 2000, 4000, 8000, 16000.109 Barisan dan Deret Bilangan
Soal Pilihan
Jumlah penduduk sebuah
kota setiap 10 tahun
menjadi 2 kali lipat.
Menurut perhitungan, pada
tahun 2000 mencapai
3,2 juta orang. Tentukan
jumlah penduduk kota itu
pada tahun 1950.
Sipenmaru, 1985
Penjumlahan beruntun suku-suku geometri merupakan deret
geometri. Jadi, 3 + 9 + 27 + 81 merupakan deret geometri.
Pada deret geometri, jumlah n suku pertamanya dinyatakan
sebagai berikut.
Sn
=
a a
r r
() () r r
n n
- -
- -1 1
untuk r < –1 atau r > 1
Sn
=
a a
r r 1 1
() () r r
n n
1 1
- -
untuk –1 < r < 1
Dengan Sn
menyatakan jumlah n suku pertama. Jadi, jumlah 4
suku pertama barisan geometri 3, 9, 27, 81, … dapat dihitung
dengan rumus berikut.
Sn
=
a
r
() r
n
-
-1
di mana a = 3, r = 3, dan n = 3 sehingga
S4
=
3
31
() 3 1 4
-
S4
=
3
2
() 811 81
S4
=
380
2
S4
=
240
2
S4
= 120
36, 18, 9, 4
1
2
, …? Barisan geometri tersebut memiliki
a = 36, r =
1
2
. Oleh karena –1 < r < 1 maka jumlah 6 suku
pertama deret tersebut adalah sebagai berikut.
Sn
=
ar
r
n
(– )
– 1
S6
=
36 1
1
2
1
1
2
6
-
Ê
Ë
Ê Ê Ê Ê
Ë Ë
Ê Ê Ê Ê ˆ
¯
ˆ ˆ ˆ ˆ
¯ ¯
ˆ ˆ ˆ ˆ Ê
Ë
Á
Ê Ê
Ë Ë
ˆ
¯
˜
ˆ ˆ
¯ ¯
-
S6
=
36 1
1
64
1
2
-
Ê
Ë
Ê Ê Ê Ê
Ë Ë
Ê Ê Ê Ê ˆ
¯
ˆ ˆ ˆ ˆ
¯ ¯
ˆ ˆ ˆ ˆAktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK
Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi
110
Contoh Soal 3.11
Sebuah perusahaan home industry pada tahun 2007 mencatat
keuntungan di bulan Januari sebesar Rp14.000.000,00. Oleh karena
kinerja perusahaan semakin baik, dan didukung ekonomi nasional
yang semakin sehat maka di tahun tersebut keuntungan perusahaan
naik menjadi 1
1
2
kali lipat dari bulan sebelumnya.
Tentukanlah:
a. barisan geometri yang menyatakan keuntungan perusahaan
tersebut setiap bulannya, mulai bulan januari 2007,
b. total keuntungan yang diraih perusahaan tersebut hingga bulan
Agustus.
Jawab:
a. Keuntungan bulan Januari Æ U1
= 14.000.000
Keuntungan bulan Februari
Æ U2
U U = 1
1
2
× 14.000.000 =
3
2
× 7.000.000 = 21.000.000
Keuntungan bulan Maret
Æ U3
U U = 1
1
2
× 21.000.000 =
3
2
× 10.500.000 = 31500.000
Jadi, diperoleh barisan geometri sebagai berikut.
14.000.000, 21.000.000, 31.500.000, …
b. Total keuntungan yang diraih perusahaan hingga bulan Agustus
merupakan jumlah 8 suku pertama barisan geometri pada soal a.
Barisan geometri tersebut memiliki a = 14.000.000, r = 1
1
2
.
Jadi, jumlah keuntungan perusahaan sampai bulan Agustus
dihitung dengan rumus
S Sn n
= =
a a
r r
() () r r
n n
- -
- - 1 1
Gambar 3.7
Total keuntungan yang diraih
suatu perusahan dapat dihitung
menggunakan deret geometri
Sumber : www.suarantb.com
S6
= 36
64
64
1
64
-
Ê
Ë
Á
Ê Ê
Ë Ë
ˆ
¯
˜
ˆ ˆ
¯ ¯
◊ 2
S6
= 72 ·
63
64
S6
=
567
8
S6
= 70
7
8111 Barisan dan Deret Bilangan
Contoh Soal 3.12
Hasil penelitian gabungan Dinas Sosial dan Dinas Pendidikan Nasional
dari tahun 2002 hingga tahun 2007 menunjukkan kecenderungan
minat membaca penduduk kecamatan Y selalu meningkat dari tahun
ke tahun dengan kelipatan perbandingan yang tetap. Jika jumlah total
penduduk yang memiliki minat membaca pada tahun 2002 dan tahun
2003 adalah 80 orang, dan jumlah total penduduk yang memiliki
minat membaca pada tahun 2002, 2003, 2004, dan 2005 besarnya 800
orang. Tentukanlah jumlah penduduk yang memiliki minat membaca
pada tahun 2007.
Jawab:
Oleh karena minat membaca penduduk meningkat dengan kelipatan
perbadingan yang tetap maka akan membentuk barisan geometri
dengan r > 1 berikut. r
U1
, U2
U U , U3
U U , U4
U , U5
U , U6
U
2002 2007 … …
Dari tahun ke tahun jumlah penduduk yang memiliki minat membaca
selalu meningkat dengan perbandingan tetap maka r > 1. r
Jumlah total penduduk yang memiliki minat membaca pada tahun
2002 ditambah tahun 2003 yang berjumlah 80 orang dapat dinyatakan
dengan persamaan berikut U1
+ U2
U U = 80 …(1)
Persamaan (1) merupakan hasil penjumlahan dua suku pertama
dari suatu deret geometri. Mengingat rumus hasil penjumlahan
n suku pertama dari suatu deret geometri adalah S
a
r
n S =
-
() r - 2
1
maka hasil penjumlahan dua suku pertama dari suatu deret geometri
dapat dinyatakan dengan rumus S
a
r
n S =
-
() r - 2
1
, sehingga diperoleh
persamaan berikut.
a
r
() r
2
1 -
= 80 …(2)
diperoleh, S8
=
14 000 000
21
.. 000 () 21 8
S8
=
14 000 000
1
.. 000 () 256 1 -
S8
= 14.000.000 (255)
S8
= 3.570.000.000
Jadi, keuntungan perusahaan home industry hingga bulan Agustus
adalah Rp3.570.000.000,00.Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK
Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi
112
Jumlah total penduduk yang memiliki minat membaca pada tahun
2002, 2003, 2004, dan 2005 adalah 800 orang dapat dinyatakan dengan
persamaan berikut.
U1
+ U2
+ U3
+ U4
= 800 …(3)
Persamaan tersebut merupakan hasil penjumlahan empat suku
pertama dari suatu deret geometri, sehingga diperoleh persamaan
S
ar
r
4
4
1
1
=
-
-
()
berikut.
ar
r
()
4
1
1
-
-
= 800 …(4),
Dari persamaan (2) dapat diperoleh persamaan (5) berikut.
ar
r
()
2
1
1
-
-
= 80 ¤ a =
80 1
1 2
() r
r
-
-
…(5)
Persamaan (5) substitusi ke persamaan (4) sehingga diperoleh
perhitungan berikut.
80 1
1
1
1 2
4
2
()( ) r
r
r
r
-
-
◊
-
-
= 800
80 1
1
4
2
()
()
r
r
-
-
= 800
()
()
r
r
4
2
1
1
800
80
-
-
=
Dengan mengingat (r4 – 1
) = (r2 – 1
)(r2 + 1
), maka diperoleh perhitungan
berikut.
()()
()
rr
r
22
2
11
1
-+
-
= 10
r2
+ 1 = 10
r2
= 10 – 1
r2
= 9
r = ± 9
maka diperoleh nilai rasio barisan geometri tersebut adalah
r1
= 3 atau r2
= –3. Pada kasus permasalahan ini, nilai rasio barisan
geometri tidak mungkin bernilai negatif maka nilai yang digunakan
adalah r = 3, substitusi nilai r ke persamaan (2) diperoleh
a() 31
31
2
-
-
= 80
a() 91
31
-
-
= 80
a ◊ 8
2
= 80
a =
80 2
8
◊
= 20113 Barisan dan Deret Bilangan
Contoh Soal 3.13
Suku ke-n suatu deret geometri adalah 4-n
. Tentukan jumlah berhingga
deret tersebut.
Jawab:
Un
= 4–n
maka U1
= a = 4–1
=
1
4
r = r
U
U
2
1
=
4
4
2
1
-
- = 4–1
=
1
4
S = S
a
r 1-
=
1
4
1
1
4
-
=
1
4
3
4
=
1
3
Jadi, jumlah tak berhingga deret tersebut adalah
1
3
.
3. Deret Geometri Tak Berhingga
Pada deret geometri, untuk n yang besarnya menuju
tak hingga maka deret tersebut dikatakan deret geometri tak
berhingga. Bentuk umum deret geometri tak berhingga adalah
sebagai berikut.
a + ar + ar2
+ ar3
+ ....
Deret geometri tak berhingga tersebut akan konvergen
(mempunyai jumlah) jika –1 < r < 1 dan jumlah S =
a
r 1-
. Jika
r tidak terletak pada –1 < r < 1 maka deret tersebut dikatakan
divergen (tidak mempunyai jumlah)
Sebuah bola pingpong
dijatuhkan ke lantai dari
ketinggian 2 m. Setiap kali
setelah bola itu memantul,
ia mencapai ketinggian
tiga per empat dari
ketinggian yang dicapai
sebelumnya. Dapatkah
Anda menentukan panjang
lintasan bola tersebut dari
pantulan awal sampai bola
itu berhenti?
Soal Pilihan
Oleh karena jumlah penduduk yang memiliki minat membaca pada
tahun 2007 adalah barisan geometri, maka
U6
= 20.36 – 1
= 20.35
= 20.243
= 4860
Jadi, jumlah penduduk yang memiliki minat membaca pada tahun
2007 adalah 4860 orang.Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK
Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi
114
Contoh Soal 3.14
Data nilai impor negara X dari tahun 2000 hingga tahun-tahun
berikutnya selalu menurun dengan perbandingan yang konstan. Nilai
impor negara X pada tahun 2000 adalah 640 milyar rupiah dan tahun
2002 besarnya 160 milyar rupiah. Jika fenomena ini terus berlanjut
hingga tahun-tahun mendatang, prediksilah nilai total impor negara
X tersebut hingga tahun-tahun mendatang.
Jawab:
Oleh karena penurunan nilai impor memiliki perbandingan yang
konstan maka nilai impor dari tahun 2000 hingga tahun-tahun
berikutnya membentuk barisan geometri tak hingga berikut.
U1
, U2
U U , U3
U U , U4
U , ...
Dengan U1
= Nilai impor tahun 2000 = 640 milyar
U2
U U = Nilai impor tahun 2001,
U3
U U = Nilai impor tahun 2002 = 160 milyar
Mengingat bahwa nilai suku ke-n suatu barisan geometri dapat
dinyatakan dengan rumusUn
= arn
r –1
, maka U1
danU3
U U dapat dinyatakan
dengan:
U1
= ar1 – 1
= ar0
= a
U3
U U = ar3 – 1
= ar2
Dengan memperhatikan nilaiU1
danU3
U U yang masing-masing besarnya
adalah 640 dan 160 milyar, diperoleh dua persamaan berikut
a = 640 …(1)
ar2
=160 …(2)
Dengan menyubstitusikan persamaan (1) ke persamaan (2) maka
diperoleh persamaan berikut.
(640 ¥ 109
) ◊ r2
= 160 ¥ 109
r2
= 160 10
640 10
1
4
9
9
¥
¥
=
r = r ±
1
4
, diperoleh
r1
=
1
2
atau r2
= –
1
2
Pada permasalahan ini, gunakan r yang bernilai positif karena tidak r
ada nilai impor yang bernilai negatif.
Dengan demikian, diperoleh:
U1
= a = 640
U2
U U = ar2 – 1
= ar1
= 640 ¥ 109 ¥ (
1
2
)
1
= 320
U3
U U =ar3 – 1
= ar2
= 640 ¥ 109 ¥ (
1
2
)2
= 160
U4
U = ar4 – 1
= ar3
= 640 ¥ 109 ¥ (
1
2
)
3
= 80, dan seterusnya.
Nilai total impor negara X hingga tahun-tahun mendatang dapat 115 Barisan dan Deret Bilangan
dihitung menggunakan deret geometri tak berhingga berikut.
U1
+ U2
+ U3
+ U4
+ ... =
a
r 1-
640 + 320 + 160 + 80 + ... =
640
1
1
2
-
=
640
1
2
= 640 ¥ 2
= 1280
Jadi, diperoleh nilai total impor negara X dari tahun 2000 hingga tahun-
tahun mendatang besarnya adalah 1.280 milyar atau 1,28 triliun rupiah.
I. Kerjakan soal-soal berikut.
1. Tentukan rumus ke-n barisan geometri
berikut, kemudian tentukan jumlah 8 suku
pertamanya.
a. 6, 9, 13 , …
b. 18, 12, 8, …
c.
-2
3
, 2, –6, 18, …
d. 20, 4,
4
5
,
4
25
, …
2. Pada awal tahun 2001, jumlah wisatawan
yang mengunjungi pulau P adalah 18.000.000 P
orang. Akibat terjadinya bencana alam
di awal tahun tersebut maka setiap bulan
berikutnya jumlah wisatawan berkurang
menjadi n
3
4
nya. Berapakah jumlah wisata-
wan yang mengunjungi pulau P dari P bulan
Januari 2001 hingga Oktober 2001?
4. Sebuah perusahaan meubel pada bulan
Maret 2005 mendapat pesanan meubel
sebanyak 64 buah. Ternyata hingga bulan
Desember 2005, pesanan selalu naik
menjadi 1
1
2
kali lipat tersebut dari bulan
sebelumnya.
a. Tentukan deret geometri yang terbentuk
dari pesanan meubel pada perusahan
itu dan tentukan rumus suku ke-n.
b. Pada bulan apakah perusahaan meubel
tersebut mendapat pesanan meubel se-
banyak 486?
c. Tentukan jumlah mebel yang sudah
dibuat perusahaan meubel itu selama 1
tahun.
5. Tentukan jumlah deret geometri tak hingga
dari 8 +
16
3
+
32
0
.
6. Diperoleh data keuntungan perusahaan X
mulai dari tahun 2003 hingga tahun 2007
membentuk suatu barisan geometri. Jika
jumlah total keuntungan dari tahun 2003
sampai tahun 2007 adalah 85,25 milyar
rupiah dan jumlah keuntungan mulai dari
tahun 2003 sampai tahun 2005 adalah 5,25
milyar rupiah, tentukanlah keuntungan per-
usaha an X pada tahun 2004.
Evaluasi Materi 3.3 .3Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK
Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi
116
Barisan bilangan didefinisikan sebagai
susunan bilangan yang memiliki pola atau
aturan tertentu antara satu bilangan dengan
bilangan berikutnya.
Deret adalah penjumlahan berurut dari suku-
suku barisan.
Barisan aritmetika adalah barisan yang selisih
dua suku yang berurutan selalu tetap.
Rumus suku ke-n dari barisan aritmetika
adalah
Un
= a + (n – 1)b
a = suku pertama barisan aritmetika
b = selisih dua suku yang berurutan
(beda)
n = banyaknya suku (bilangan asli 1, 2,
3, ...)
Un
= suku ke–n
Jumlah suku pertama barisan aritmetika
adalah
Sn
=
n
2
(a + Un
)
Sn
= jumlah n suku pertama deret aritmetika
Barisan geometri adalah barisan yang memiliki
perbandingan dua suku yang berurutan selalu
tetap.
Perbandingan dua suku yang berurutan
disebut rasio.
Rumus suku ke-n deret geometri adalah
Un
= a . r
n – 1
Un
= suku ke-n
a = suku pertama
r = rasio
Deret geometri adalah jumlah suku dari
suku-suku yang berurutan.
Jumlah n suku pertama barisan geometri
adalah selalu tetap.
Sn
=
a() r
n
1
() r 1-
untuk r > 1
Sn
=
a() r
n
1
() r 1-
untuk r < 1.
Jumlah deret geometri tak terhingga adalah
S∞ =
a
() r 1-
; –1 < r < 1
S∞ = jumlah deret geometri tak hingga
a = suku pertama
r = rasio.
Ringkasan
Kaji Diri
Setelah mempelajari materi tentang Barisan dan Deret Bilangan, tuliskan bagian mana saja yang
belum Anda pahami. Selain itu, tuliskan juga materi yang Anda senangi beserta alasannya. Bacakan
tulisan Anda di depan kelas.117 Barisan dan Deret Bilangan
I. Pilihlah salah satu jawaban yang tepat.
Kerjakanlah di buku latihan Anda.
1. Perhatikan barisan bilangan berikut.
1, 2, 3, 5, …
Bilangan selanjutnya adalah ….
a. –2 d. 10
b. 6 e. 7
c. 8
2. Rumus suku ke-n barisan bilangan 10, 5, 0,
–5, … adalah ….
a. 10 – 2n d. 10 + 3n
b. 2 + 3n e. n2
–1
c. 15 – 5n
3. Jumlah 10 suku pertama barisan bilangan
10, 5, 0, –5, adalah ….
a. –125 d. –100
b. 90 e. –75
c. –85
4. Sebuah barisan aritmetika suku pertamanya
adalah 1. Jika jumlah 6 suku pertama barisan
bilangan tersebut besarnya adalah 66 maka
beda pada barisan tersebut adalah ….
a. –4 d. –2
b. 2 e. 5
c. 4
5. Suku ke–10 barisan aritmetika pada soal
nomor. 4 adalah ….
a. 75 d. 190
b. 80 e. 200
c. 100
6. Anton menabung setiap bulan di sebuah
bank swasta, mulai Januari 2005 hingga
seterusnya. Setoran Anton per bulannya
terus naik sesuai dengan barisan aritmetika
berikut.
200.000, 250.000, 300.000, ….
Setoran Anton pada September 2005 besar-
nya adalah ….
a. Rp450.000,00
b. Rp550.000,00
c. Rp600.000,00
d. Rp700,000,00
e. Rp750.000,00
7. Jumlah total setoran Anton (pada soal nomor
6) hingga Desember 2005 adalah ….
a. Rp5.700.000,00
b. Rp5.000.000,00
c. Rp5.000.000,00
d. Rp4.800.000,00
e. Rp4.000.000,00
8. Rumus suku ke–n barisan geometri 40, 20,
10, 5, … adalah ….
a. Un
=
20
2n d. Un
= 80 ◊ n
b. Un
= 40n
e. Un
=
80
2n
c. 40·2n
9. Jumlah 10 suku pertama barisan 40, 20, 10,
5 adalah ….
a. 60
1
2
d. 78
18
25
b. 70 e. 80
1
3
c. 79
59
64
10. Suatu barisan geometri memiliki suku
pertama adalah 12, jumlah 3 suku pertama
adalah 57. Suku ke empat barisan geometri
tersebut adalah ….
a. 40
1
2
d. 40
b. 38 e. 36
c. 45
11. Jumlah 5 suku pertama suatu barisan
geometri adalah 93. Jika rasio barisan
tersebut adalah 2 maka suku ke–6 barisan
tersebut adalah ….
a. 48 d. 96
b. 60 e. 100
c. 90
Evaluasi Materi Bab 3Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK
Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi
118
12. Sebuah peternakan ayam memiliki 128 ekor
ayam. Oleh karena terjadi wabah fl u burung
maka setiap hari jumlah ayam berkurang
me n jadi
1
2
kalinya. Jumlah ayam menjadi
tinggal 4 ekor pada hari ke ….
a. 8 d. 4
b. 7 e. 3
c. 5
13. Jika barisan 24, 48, x, 192 merupakan
barisan geometri …
maka nilai x2
adalah ….
a. 4.760 d. 9.216
b. 8.560 e. 10.000
c. 9.000
14. Jumlah 6 suku pertama dari barisan pada
soal nomor 13 adalah ….
a. 1.000 d. 1.600
b. 1.300 e. 1.512
c. 1.400
15. Jika barisan 20, x, 5, … merupakan barisan
geometri maka suku ke-5 nya adalah ….
a. 1 d. 1,75
b. 1,25 e. 2
c. 1,5
II. Kerjakanlah soal-soal berikut.
1. Ibu Sarah memiliki 3 orang anak. Setiap hari
ibu Sarah memberi anak-anaknya uang saku.
Setiap harinya ibu Sarah mem beri Rp20.000,00
untuk anak pertama, Rp16.000,00 untuk anak
kedua, dan Rp4.000,00 untuk anak bung-
sunya. Ten tukan jumlah uang yang harus
disediakan ibu sarah selama satu bulan untuk
uang saku anak-anaknya.
2. Ayah membeli sebuah mobil seharga
Rp150.000.000,00. Harga mobil menyusut
sebesar 0,8% setiap tahunnya. Taksirlah
harga mobil tersebut pada tahun ke-15
setelah pembelian.
3. Keuntungan seorang pedagang bertambah
setiap bulan dengan jumlah yang sama. Jika
keuntungan bulan ke-4 adalah Rp30.000,00
dan bulan ke-8 adalah Rp172.000,00,
tentukan keuntungan bulan ke-18.
4. Pertambahan penduduk setiap tahun di suatu
desa mengikuti deret geometri. Pertambah-
an penduduk pada tahun 1996 sebanyak 24
orang, tahun 1998 sebesar 96 orang. Tentu-
kan pertambahan penduduk tahun 2001.
5. Diketahui jumlah deret geometri tak hingga
adalah 10 dan suku pertamanya adalah 2.
Tentukan rasio deret geometri tak hingga
tersebut.
Pilihan Karir
Psikolog adalah seorang ahli dalam bidang psikologi, bidang ilmu pengetahuan yang mempelajari
tingkah laku dan proses mental. Psikolog dapat dikategorikan ke dalam beberapa bidang tersendiri
sesuai dengan cabang ilmu psikologi yang ditekuninya. Tetapi kata "psikolog" lebih sering digunakan
untuk menyebut ahli psikolog klinis, ahli psikologi di bidang kesehatan mental. Psikolog di Indonesia
tergabung dalam organisasi profesi bernama Himpunan Psikolog Indonesia (HIMPSI).
Tidak ada komentar:
Posting Komentar